１週間集中講義を受けてきたのだが、とても勉強になった。
1) Longitudinal dataとは
繰り返し測定データのこと。血圧や体重、血糖値などの生体データは個人において時間単位や年単位で繰り返し測定される。
この複数のデータをどのように解釈して分析するかについては、今まで、time-weighted managementやBaselineからの変化に注目してdunnettの検定を行っていたが（しかしdunnettの検定では２群の比較はできない...) Longitudinal dataに特有の問題を解決することはできなかった。
2) Longitudinal dataに特有の問題とは
2つの問題がある。1つは測定された個人の繰り返しデータは相関するという点
もう1つは分散が不均一であるということ。（この分散の不均一性を補正しなければデータが誤って解釈されてしまう）
2-1) 個人の繰り返しデータは相関
この表はある検査データにおける0,4,8,12週の測定値の相関をプロットした。
これを見ると、０週と４週の相関係数Correlationは0.721、0週と8週の相関係数は0.514となり、時間が経過するに従い相関は薄まっている。
2-2) 分散が不均一
ベースラインの分散と、それぞれの時点の分散は同一ではない。
3) Longitudinal dataにおけるtimeとoccasion
どちらも測定時点をさすが、occasionが決められた時間（例えば２週間後、４週間後など）を示すのに対して、timeはそれぞれの個人の測定時間が異なっている場合に使用する。
例えばあるタイミング（手術してから癌が再発した時点の腫瘍マーカーのデータ）はoccasionではなくtimeである。
4) Longitudinal dataを分析するための方法
一番シンプルなモデルとして線形モデルを考えてみる。i は個体subjectを示す
Yi = ß0 + ß1Xi + εi
これに時系列データが加わるとする。jは時間（この場合はj回目の測定、occasion）を示す
回帰モデルの中に1からp個の変数があるとする。するとモデルは
Yij = ß0 + ß1Xij1 + ß2Xij2 + ... + ßpXijp + εij
となる。 Yijは個体i のj時点での推定値ということになる。
注）Longitudinal dataの目的は Yijを予測することではなく、例えばある現象において傾きが異なることを示したり、治療の効果が異なることを示す通常の検定においけるßの違いを検証することという、通常今までの重回帰分析などと同じ目的であるということ。
そしてこの式では、上記に書いた相関の問題や分散が異なるというLongitudinal data特有の問題を解決できていない。それを解決するためにランダム効果という要素を追加する。
Yij = ß0 + ß1Xij1 + ß2Xij2 + ... + ßpXijp + bi + εij
bi ~ N (0, σ2)
このモデルにおいて、母数効果（時系列によらない変数）とランダム効果（時系列による効果）が同時に組み込まれているため、混合効果モデル（Mixed effect model)という言い方をする。
5) ランダム効果の意味
一般的な線形モデルにおいて、2つのランダム効果が考えられる。1つは切片のばらつきを表すランダム効果、そしてもう一つは傾きのばらつきを示すランダム効果である。
（ここから先、母数効果の変数はß、ランダム効果の変数はbで示す）
まず切片のばらつきのみのランダム効果で考えてみる。するとモデルは
Yij = (ß0 + bi) + ß1tij + εij
となる。
biはランダム効果と定義下が、その実態はなんやねん？となる。
biの推定値を式で示すとこのような式となる。
bi(推定^) = E(bi | Yi, Xi; ß, G, σε）
これが best linear unbiased predictorと呼ばれる。BLUP
